feat: add solutions to lc problem: No.1227

No.1227.Airplane Seat Assignment Probability

Author: yanglbme

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/README.md

@@ -48,22 +48,129 @@
 
 <!-- 这里可写通用的实现逻辑 -->
 
+**方法一：数学**
+
+用 $f(n)$ 表示当有 $n$ 位乘客登机时，第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率。从最简单的情况开始考虑：
+
+-   当 $n=1$ 时，只有 $1$ 位乘客和 $1$ 个座位，因此第 $1$ 位乘客只能坐在第 $1$ 个座位上，$f(1)=1$；
+
+-   当 $n=2$ 时，有 $2$ 个座位，每个座位有 $0.5$ 的概率被第 $1$ 位乘客选中，当第 $1$ 位乘客选中座位之后，第 $2$ 位乘客只能选择剩下的座位，因此第 $2$ 位乘客有 $0.5$ 的概率坐在自己的座位上，$f(2)=0.5$。
+
+当 $n>2$ 时，如何计算 $f(n)$ 的值？考虑第 $1$ 位乘客选择的座位，有以下三种情况。
+
+-   第 $1$ 位乘客有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择第 $1$ 个座位，则所有乘客都可以坐在自己的座位上，此时第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率是 $1.0$。
+
+-   第 $1$ 位乘客有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择第 $n$ 个座位，则第 $2$ 位乘客到第 $n-1$ 位乘客都可以坐在自己的座位上，第 $n$ 位乘客只能坐在第 $1$ 个座位上，此时第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率是 $0.0$。
+
+-   第 $1$ 位乘客有 $\frac{n-2}{n}$ 的概率选择其余的座位，每个座位被选中的概率是 $\frac{1}{n}$。
+    假设第 $1$ 位乘客选择第 $i$ 个座位，其中 $2 \le i \le n-1$，则第 $2$ 位乘客到第 $i-1$ 位乘客都可以坐在自己的座位上，第 $i$ 位乘客到第 $n$ 位乘客的座位不确定，第 $i$ 位乘客会在剩下的 $n-(i-1)=n-i+1$ 个座位中随机选择（包括第 $1$ 个座位和第 $i+1$ 个座位到第 $n$ 个座位）。由于此时剩下的乘客数和座位数都是 $n-i+1$，有 $1$ 位乘客会随机选择座位，因此问题规模从 $n$ 减小至 $n-i+1$。
+
+结合上述三种情况，可以得到 $f(n)$ 的递推式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+f(n) &= \frac{1}{n} \times 1.0 + \frac{1}{n} \times 0.0 + \frac{1}{n} \times \sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) \\
+&= \frac{1}{n}(1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1))
+\end{aligned}
+$$
+
+上述递推式中，$i$ 的取值个数有 $n-2$ 个，由于 $i$ 的取值个数必须是非负整数，因此只有当 $n-2 \ge 0$ 即 $n \ge 2$ 时，上述递推式才成立。
+
+如果直接利用上述递推式计算 $f(n)$ 的值，则时间复杂度为 $O(n^2)$，无法通过全部测试用例，因此需要优化。
+
+将上述递推式中的 $n$ 换成 $n-1$，可以得到递推式：
+
+$$
+f(n-1) = \frac{1}{n-1}(1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i))
+$$
+
+上述递推式中，$i$ 的取值个数有 $n-3$ 个，只有当 $n-3 \ge 0$ 即 $n \ge 3$ 时，上述递推式才成立。
+
+当 $n \ge 3$ 时，上述两个递推式可以写成如下形式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+n \times f(n) &= 1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) \\
+(n-1) \times f(n-1) &= 1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i)
+\end{aligned}
+$$
+
+将上述两式相减：
+
+$$
+\begin{aligned}
+&~~~~~ n \times f(n) - (n-1) \times f(n-1) \\
+&= (1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1)) - (1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i)) \\
+&= \sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) - \sum_{i=2}^{n-2} f(n-i) \\
+&= f(2)+f(3)+...+f(n-1) - (f(2)+f(3)+...+f(n-2)) \\
+&= f(n-1)
+\end{aligned}
+$$
+
+整理后得到简化的递推式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+n \times f(n) &= n \times f(n-1) \\
+f(n) &= f(n-1)
+\end{aligned}
+$$
+
+由于已知 $f(1)=1$ 和 $f(2)=0.5$，因此当 $n \ge 3$ 时，根据 $f(n) = f(n-1)$ 可知，对任意正整数 $n$ 都有 $f(n)=0.5$。又由于 $f(2)=0.5$，因此当 $n \ge 2$ 时，对任意正整数 $n$ 都有 $f(n)=0.5$。
+
+由此可以得到 $f(n)$ 的结果：
+
+$$
+f(n) = \begin{cases}
+1.0, & n = 1 \\
+0.5, & n \ge 2
+\end{cases}
+$$
+
 <!-- tabs:start -->
 
 ### **Python3**
 
 <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 -->
 
 ```python
-
+class Solution:
+    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
+        return 1 if n == 1 else .5
 ```
 
 ### **Java**
 
 <!-- 这里可写当前语言的特殊实现逻辑 -->
 
 ```java
+class Solution {
+    public double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+}
+```
+
+### **C++**
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+};
+```
+
+### **Go**
 
+```go
+func nthPersonGetsNthSeat(n int) float64 {
+	if n == 1 {
+		return 1
+	}
+	return .5
+}
 ```
 
 ### **...**

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/README_EN.md

@@ -43,13 +43,41 @@
 ### **Python3**
 
 ```python
-
+class Solution:
+    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
+        return 1 if n == 1 else .5
 ```
 
 ### **Java**
 
 ```java
+class Solution {
+    public double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+}
+```
+
+### **C++**
+
+```cpp
+class Solution {
+public:
+    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+};
+```
+
+### **Go**
 
+```go
+func nthPersonGetsNthSeat(n int) float64 {
+	if n == 1 {
+		return 1
+	}
+	return .5
+}
 ```
 
 ### **...**

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/Solution.cpp

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+class Solution {
+public:
+    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+};

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/Solution.go

@@ -0,0 +1,6 @@
+func nthPersonGetsNthSeat(n int) float64 {
+	if n == 1 {
+		return 1
+	}
+	return .5
+}

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/Solution.java

@@ -0,0 +1,5 @@
+class Solution {
+    public double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
+        return n == 1 ? 1 : .5;
+    }
+}

solution/1200-1299/1227.Airplane Seat Assignment Probability/Solution.py

@@ -0,0 +1,3 @@
+class Solution:
+    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
+        return 1 if n == 1 else .5